TASA RELACIONADA

TASAS RELACIONADAS 

¿Qué son los problemas de tazas relacionadas?

Un problema de tasas de variación relacionadas es aquel que involucra tasas de variación de variables relacionadas.

Aplicadas al mundo real

 En aplicaciones del mundo real que implican tasas de variación relacionadas, las variables tienen una relación específica para valores de t, donde t es una medida de tiempo. En general, esta relación se expresa mediante una ecuación, la cual representa un modelo matemático. Esta sección se inicia con un ejemplo ilustrativo que muestra el camino paso a paso de cómo se resuelven la mayoría de Jos problemas de tasas de variación relacionada

Les coloco un Video explicando un ejercicio para su mejore entendimiento

Podemos tomar el video y aplicarla a este primer ejemplo.

Comprensión gráfica:

Una escalera de 25 pie de longitud está apoyada contra una pared vertical como se muestra en la figura l. La base de la escalera se jala horizontalmente alejándola de la pared a 3 pie/s. Suponga que se desea determinar qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera sobre la pared cuando su base se encuentra a 15 pie de la pared.

Paso 1 Primero defina las variables comenzando ctm 1. r: el número de segundos del tiempo que ha transcurrido desde que la escalera comenzó a deslizarse hacia abajo sobre la pared. x: el número de pies de la distancia desde la base de la escalera a la pared a los t segundos. y: el número de pies de la distancia desde el piso a

la parte superior de la escalera a los t segundos.

 Paso 2 Escriba cualquier hecho numérico acerca de x. y y sus derivadas con respecto a 1. Como la base de la escalera es jalada horizontalmente alejándola de la pared a 3 pie/s,   ax/dt = 3

Paso 3 Escriba lo que desea determinar. 

Se desea determinar dy/dt cuando x=15

Paso 4 Escriba una ecuación que relacione a x y y. Del teorema de Pitágoras, 

    y2 (y al cuadrado) = 625 - x2 (x al cuadrado)

Paso 5 Derive los dos miembros de (1) con respecto a t

      

      2y dy/dt   = -2x dx/dt

       dy/dt = -x/y * dx/dy

Paso 6 Sustituya los valores conocidos de x y y  dx/dt en la ecuación anterior y resuelvala para dy/dt.

el signo menor indica que decrece confomre t aumenta

Paso 7  conclusión.

la parte superior de la escalera se desliza hacia abajo sobre la pared a la tasa de 2.25 pies/s cuando la base esta a 15 pies de la pared.

SEGUNDO EJERCICIO 

Suponga que en cierto mercado, x miles de canastillas de naranjas se surten diariamente cuando p dólares es el precio por canastilla. La ecuación de oferta es     px - 20p - 3x + 105 = O

Si el suministro diario decrece a una tasa de 250 canastillas por día, ¿a qué tasa está variando el precio cuando la oferta diaria es de 5 000 canastillas? 

Solución Sea t días el tiempo que ha transcurrido desde que el suministro diario empezó a decrecer. Las variables p y x están definidas como funciones de t en el enunciado del problema. Debido a que el suministro diario está decreciendo a una tasa de 250 canastillas por día, entonces 

dx/dt   = -250/1000 esto es , dx/dt es igual a -1/4 se desea determinar dt/dp cuando =5 

De la ecuación de oferta dada, al diferenciar implícitamente con respecto a t se obtiene

p (dx/dt) + x (dp/dt) -20 (dp/dt) = 0

   

                                                    dp/dt = (3-p/x-20) * dx/dt

Cuando x = 5, se deduce de la ecuación de oferta que p  = . Debido a que dx/dt = -1/4, se tiene de la ecuacion anterior

conclusión: el recio de una canastilla de naranjas esta decreciendo a la tasa de $0.05 por dia cuando la oferta diaria es de 5000 canastillas. 

 TERCER EJERCICIO 

Un avión vuela hacia el oeste con una velocidad de 500 pie/s a una altura de 4 000 pie y un rayo de luz de un faro de rastreo ubicado en tierra, incide en la pane inferior del avión. Si la luz se mantiene sobre el avión, ¿qué tan rápido gira el rayo de luz cuando el avión se encuentra a una distancia horizontal de 2 000 pie al este del faro. 

Solución Consulte la figura 4, en la que el faro está en el punto L y en un instante panicular el avión se encuentra eh el punto P. Sea t segundos el tiempo que transcurre desde que la luz del faro incidió en el avión. x: el número de pies hacia el este de la distancia horizontal del avión desde el faro a los t segundos. 8: el número de radianes del ángulo de elevación del avión desde el faro a los t segundos

puesto que dx/dt = -500. y como se desea determinar d@(angulo de d) /dt cuando x=2000, se considera

tan @ = 4000/x 

al diferenciar los dos miembros de esta ecuacion con respecto a se obtiene 

sec2 @(secante al cuadrado del angulo) d@/dt = 4000/x2 (x al cuadrado) * dx/dt

si se sustituye dx/dt por -500 en la ecuacion anterior al dividir entre sec2 @ se tiene

d@/dt = 2 000 000/x2 sec2 @

Cuando x = 2000, tan @ = 2. como sec2 @=1+tan2 @, sex2 @= 5. al sustitur estos valores en (6) se tiene, cuando x = 2000

d@/dt = 2 000 000 / 4 000 000 (5) = 1/10

conclusión: en el instante dad, la medida del angulo esta creciendo a la tasa de 1/10 rad/s, y esta es la rapidez con la que esta girando el aro. 

CUARTO EJERCICIO

Dos automóviles, uno va hacia el este a una tasa de 90 km/h, y el otro hacia el sur a 60 km/h, se dirigen hacia la intersección de dos carreteras. ¿A qué tasa se están aproximando uno al otro en el instante en que el primer automóvil está a 0.2 km de la intersección y el segundo se encuentra a 0.15 km de dicha intersección? 

Solución Consulte la figura 3, donde el punto Pes la intersección de las dos carreteras. 

Paso 1 

t: el número de horas del tiempo que ha transcurrido desde que los automóviles empezaron a aproximarse a P. x: el número de kilómetros de la distancia a partir del primer automóvil a P a las t horas. y: el número de kilómetros de la distancia a partir del segundo automóvil a P a las t horas. z: el número de kilómetros de la distancia entre los dos automóviles a las t horas. 

Paso 2 Como el primer carro se acerca a P a una tasa de 90 km/h, y x está decreciendo conforme t crece, entonces dx/dt = -90, de la misma manera, dy/dt = -60

Paso 3 se decea determinar d2/dt cuando x = 0.2 y y = 0.15

Paso 4 de teorime de pitagoras

(todos los dos son al cuadrado)

(z al cuadrado)

z2  = x2 + y2

Paso 5  al diferencia los dos miembros de (4) con respecto a t, se obtiene 

 2z * dz/dt = 2x * dx/dt + 2y * dy/dt

dz/dt = (x*dx/dt + y * dy/dt) / (z)

Paso 6 cuando x = 0.2 y y= 0.15 de (4) se tiene que z = 0.25. En (5) se sustituyen dx/dt por -90 dy/dt  por -60, x por 0.2 y por 0.15 y z por 0.25 para obtener

Paso 7 

Conclusión: en el instante en cuestión los carros de aproximan uno al otro a una tasa de 108 km/h.

QUINTO EJERCICIO

(nos referiremos a todos los números que estén después de una letra como elavacion ) 

Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m3/min hacia el interior de un deposito cuya forma es dla de un cono invertido de 16 m de altura y 4m de radio. ¿ que tan rapido sube el nivel del agua cuando esta ha alcanzado 5 m de profundidad? 

Solución  refiérase a la figura 2

Paso 1 se definen las variables. primero t y después las otras variables en términos de t. 

t: el numero de minutos del tiempo que ha transcurrido desde que el agua comenzó a fluir dentro del tanque.

h: el numero de metros de altura del nivel del agua a los t minutos

r: el numero de metros del radio de la superficie del agua a los t minutos

V: el numero de metros cúbicos del volumen de agua en el tanque a los t minutos. Observe que V, r y h, son funciones de t 

Paso 2  puesto que el agua fluye dentro del tanque a una tasa de 2m3/ minutos, entonces dV/dt =2

Paso 3 se desea determinar dh/dt cuando h = 5

Paso 4 en cualquier tiempo, el volumen del agua en el tanque puede expresarse en el voolumen de un cono, como indigca la figura. 

V = 1/3 pi r2 h

como se estableció en los pasos 2 y 3, se conoce dV/dt. y se desea determinar dh/dt. por tanto, se necesita una ecuación que involucre que, de los triángulos semejantes de la figura 2 se tiene. 

Si se sustituye este valor de r en (3), se obtiene  

Paso 5 Al diferencia los dos miembros de esta ecuación con respecto a t, resulta: 

Paso 6 Ahora se sustituye 2 por dV/dt y se resuelve la ecuacion para dh/dt obteniendose 

Al convertir metros a centimetros se tiene: 0.4070 m/min = a 40.74 cem/min

Paso 7 a continuación se escribirá la conclusión

Conclusión: El nivel del agua sube a una tasa de 40.74 cm/min cuando el agua ha alcanzado una profundidad de 5m.