OPTIMIZACIÓN

OPTIMIZACIÓN 

Optimización es la acción y efecto de optimizar. Este verbo hace referencia a buscar la mejor manera de realizar una actividad. El término se utiliza mucho en el ámbito de la informática.

En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real eligiendo sistemáticamente valores de entrada (tomados de un conjunto permitido) y computando el valor de la función. La generalización de la teoría de la optimización y técnicas para otras formulaciones comprende un área grande de las matemáticas aplicadas. De forma general, la optimización incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna función objetivo dado un dominio definido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.

Les incluyo un video con ejemplo para su mejor entendimiento. 

PRIMER EJEMPLO

Se desea construir un recipiente con forma de cilindro circular recto para un volumen de 1000 cm3(cubicos). Exprese el area del cilindro en funcion de su altura. 

dibujo 

nota todos los números que estén detrás de una letra se tomaran como exponentes

Paso 1:  hay que recordar la formula de un cilindro 

  

             v= pi*r2*h

             1000 = pi*r2*h

        

paso 2: para poder tener el area hay que descomponer el cilindro en dos círculos 

 A(h) = 2 pi r2 + 2pi *r*h

tenemos que encontrar r  sustituyendo nuestro resultado anterior nos queda asi 

entonces el 

A(h) = 2*pi(raiz de 100/pi*h) al cuadrado +2*pi(raiz de 1000/pi*h) *h

A(h) = 2 *pi (1000/pi*h)+ 2* pi *h *raiz de 1000 /pi*h

A(h) = 2000/h +2 raiz de pi*raiz de pi*raiz de h * raiz de h * raiz de 1000/rapiz de pi* raiz de h

A(h) 2000/h +2 *raiz de 1000*pi*h

les dejo un video por si tienen dudas

            SEGUNDO EJEMPLO

Pepe quiere utilizar 100 metros de malla metálica para cercar un jardín rectangular.

Determine el área máxima posible del jardín.

Primer paso: Dibujo 

Segundo paso: Encontrar la ecuación que queremos optimizar (el área de un rectángulo)

A max. = y*x

 (perimeetro) P= x+y+x+y

                       P= 2x+2y

                     100=2x+2y

      2x+2y=100

      2(x+y) =100

       x+y = 50

       y=50-x

      Amax= y*x

       Amax= (50-x)*x (sustituimos y por la ecuacion de arriba)

        Amax =50x-x2   

El area maxima 

Una ves teniendo la ecuacion que quiero determinar 

  A=50x-x2(al cuadrado)

Tercer paso: 

Tenemos que determnar el dominio siendo un intervalo cerrado

D----> {}

0< x

D-------->[0,50 ]

A = (50-x) *x

Cuarto paso;

encontrar puntos criticos

A= 50x-x2

derivamos

A´= 50-2x -------(la igualamos a 0)    

 50-2x=0

50=2x

50/2 =x

25

Para determinar si este punto critio esta en maximo o en minimo realizamos

derivando 

50-2x

A´=   -2 ------> max

A max = x*y

y=50-x

 A max = (50-x) * x

A max = (25) 25

A max = 625 u2 (unidades cuadradas)

ese es el área máxima...

Conclusión :  El área máxima que puede tener un jardín rectangular con 100 metros de maya son 625 unidades cuadradas. 

Les dejo un video de apoyo..

           TERCER EJEMPLO

De un cartón rectangular de 27 cm * 36 cm, se debe cortar en cada esquina un cuadrado. De modo que con el cartón resulte , doblado convenientemente, se pueda construir una caja sin tapa. 

Determinar la longitud del lado del cuadrado de las esquinas para que la capacidad d ela caja sea máxima.

Primer paso: 

                                                                  

dibujo que me ayude a entender el problema. 

x= lado del cuadrado 

Paso 2 encontrar la ecuación para el problema 

V = l*a*h

l= 36-2x

a= 27-2x

h = x

Paso 3

V= l*a*h     en función de x

V= (36-2x) (27-2x) (x)

V=  (36-2x) 27x-2x2)

V=  972x-72x2-54x2+4x3

v= 4x3-126x2+972x

 formula del volumenn en funcion de x

determinar el dominio

V= 4x3-126x2+972x

factorizamos

v= (36-2x) (27-2x) (x)

        l            a          h

cada uno de ellos va a ser siempre positivo 

36-2x>0

36 >0+2x

36/2 > x

18 > x

27-2x > 0

27> 2x

27/ 2 > x

13.5 > x

x>0

gráficamente es 

D ---> x pertenece [0,27/2]  es el dominio 

Puntos criticos

paso 4

V´=4[3x2] -126[2x] + 972

V´= 12x2-252x+972

0 = 12(x2-21x+81)

0= x2-21x+81

hasta aqui les dejo un video de lo que hemos realizado 

x2-21x+81 = 0  utilizando esta formula 

a=1

b= -21

c= 81

sustituyendo nos que da así 

ahora las dos soluciones 

x1= 21+10.81 /2 

x1 = 15.9   

x2 = 21-10.81/2

x2 = 5.09

esos son los valores criticos de la caja 

. el valor 15.9 no entra dentro del intervalo por lo tanto se elimina y utilizamos el segundo valor. 

v´ = 12x2-252x+972

v´= 12(2x) - 252

v´´ = 24x-252 ----> + u 

al desarrolar 

v´´ 24(5.9) -252

1220.24 -252

= -131.76

para el valor critico 5.09 es es el valor maximo 

x = 5.09  

el volumen ahora es 

conclusión: volumen maximo de la caja es de 2211.56 cm3 

les dejo un video para apoyo. 

Gracias déjenos sus comentarios. 

            CUARTO EJEMPLO

Problema: Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triangulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz si el perimetro de la misma debe ser 12 metros. 

Dibujamos 

Deducimos x ya que es un triángulo equilátero y y porque tiene la misma altura de los dos lados. 

Paso numero 1

Obtenemos el perímetro del dibujo la cual nos indican que es: 

P = 12 mts. 

x + y + x + x + y = 12

simplificamos 

3x + 2y = 12 -----> expresión numero 1

Paso 2:

   A = A del rectanculo + A del triangulo 

para el caso del rectangulo sabes que es:

A = x*y 

y el del triangulo equilatero es 

x2+raiz de 3/4

entonces decimes que 

A = xy+0.43x2   ----> expresión numero 2

Paso 3. 

despejamos y

2y=12-3x

y = 12-3x/2

y = 12/2 - 3x/2

y = 6-1.5x   ( --->  expresión numero 3

Ahora sustituimos la expresion 

A= x(6-1.5x) + 0.43x2(al cuadrado)

A = 6x -1.5x2+0.43x2 ( los dos significan al cuadrado)

A= 6x-1.07x2( al cuadrado) ---> exprecion numero 4

paso 4 

cuando x produce el valor maximo

A´(x) = 6-2.14x (primera derivada)

A´´(x) = -2.14  (segunda derivada)

paso 5 

encontrar los valores de x que producen los puntos críticos.  el area A

A´(x) =  ---> 6-2.4x =0

                       -2.14x = -6

                   x =  -6/ -2.14

                  x= 2.80 m   Respuesta

   paso 6 encontrar el valor de y de la figura. 

Y = 6 - 1.5 -(2.80)

Y= 6 - 4.2

Y = 1.80m

Respuesta a la pregunta

Su base debe ser: 2.80 m y su altura 1.80 metros . 

                   

                        

          QUINTO EJEMPLO

Problema: Un trozo de alambre de 10 metros de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triangulo equilatera. Determine cómo debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea: a Máxima y b Mínima

Dibujo : 

Primer Paso: 

sacamos la expresión para el área del cuadrado

A= (x/4)2 = x2/16 (los números dos los tomamos como cuadrados)

Para el triangulo 

A = (L2*raiz de 3)/4

A = (raiz de 3)/4*(10-x)/3 elevado ala 2 

para el area total: 

A = A(cuadrado) + A del triangulo

A = x2/16 + raiz de 3/ 4 *((10-x)/3)2

A = x2/16+raiz de 3/4* (10-x)2 /9

A(x) = 1/16x2+raiz de 3/36 *(10-x)2

Dominio de la función: valores que puede tomar x 

 0<x  <10 menor o igual  a:

Derivamos la funsión 

A´(x) = 1/8 de x + raiz de 3 /18 *(10-x)1*(-1)

A´(x) =  x/8 - (raíz de 3 (10-x)/18))

Puntos críticos de la función : A´(x) = 

x/8  - raiz de 3 *(10-x)/8 = 

x/8 = raiz de 3 *(-x)

9x = 4 *razi de 3 -4 *raiz de 3x

9x + 4*raiz de 3x  = 4*raiz de 3

x(9+4*raiz de 3) = 4 *raiz de 3

x = 4 *raiz de 3)/9+4*raiz de 3

x= 4.35m

Respuesta:  El  Máxima: 10m---->cuadrado

                                           0--------> triangulo 

parte b) A mínima   4-35m para el cuadrado

                                 5.65m para formar el triangulo